橘子：今天，和大家分享一篇很“硬核”的數(shù)學攻略。

最近，有花友推薦了這篇文章，在社區(qū)內(nèi)居然引起了大家蠻熱烈的關注。

文章作者是數(shù)學博士，還是一位數(shù)學老師，高中數(shù)學幾乎每次都能拿到滿分。

(資料圖片僅供參考)

最近，他在知乎熱門問題“我一直很好奇，高中數(shù)學考試每次145+的人是怎么做到的“寫了條回答，分享了他的數(shù)學學習經(jīng)驗，收到了八千多條贊同、六百多條評論，非常受歡迎。

文章很長很詳細，作者分享了自己高中數(shù)學能拿到滿分的九個數(shù)學習慣，沒有很“高大上”，非常接地氣，很多方法論，咱們普娃也能適度地參考起來。

橘子通篇讀了這篇文章后，有個很深刻的印象：要想高中數(shù)學成績還不錯，到了高中再臨陣磨槍可能會比較吃力。前期的數(shù)學習慣很重要，包括預習習慣、打草稿習慣、做題習慣、教材學習習慣等，越早抓越受益。

這篇攻略貼，被不少網(wǎng)友們標記為“寶藏貼“：

花友 @雨天有時下藍鯨：誠意滿滿的經(jīng)驗，感覺娃的數(shù)學學習有了方向。

網(wǎng)友 @知鳶：謝謝題主的分享，看了后醍醐灌頂，可惜現(xiàn)在才看到，當年念書的時候就是題主口中的不知學習為何物的學生，渾渾噩噩經(jīng)歷高考?，F(xiàn)在看到也算有幸，可以應用到孩子身上。

網(wǎng)友 @sinocare：邏輯太清晰 文筆太清秀。

今天，我們獲得了這位熱情知乎網(wǎng)友“川上老師“的授權，和大家分享這篇攻略。

下面，就來看看這位數(shù)學老師的大白話。讀完后，也許能對帶娃學數(shù)學，有些新的啟發(fā)～

圖片：作者的草稿；本文轉(zhuǎn)載授權自知乎網(wǎng)友 @川上老師

---? 以下為正文 ---

我高中數(shù)學幾乎每次都能考滿分，要么就是稍微錯個幾分在145分+的水平，后來碰上自主招生，去了幾所985大學自主招生考試，考數(shù)學也都是滿分。

后來，我選的大學數(shù)學院副院長和我是老鄉(xiāng)，他直接打電話到我家里讓我把志愿填過去。我也沒有辜負他的期望，一路學習到博士。順帶提一句，不少人說浙江江蘇卷145分+很難考，但我當年就是浙江考生。

有一句話說得好，學霸考滿分是因為只有這么幾分能考。

當年對我而言，數(shù)學是我的強勢科目，確實是巴不得多個五十分上限。每次數(shù)學考試結(jié)束，所有同學都會來搶我的數(shù)學試卷來估分（只上交答題卷，我會在試卷上寫好答案）。甚至鬧過一次烏龍，有一次一個選擇題極難，我也考慮失誤做錯了，他們寧可相信是老師給的標準答案錯了，也不愿意相信是我寫錯了。

關于高中數(shù)學分數(shù)，我說一下我的看法：如果你平時成績在某個分數(shù)左右波動，可以認為你的實力就在考那個分數(shù)的水平，但是如果你想次次都考滿分，就至少得有個能考兩百分的水平。換言之，成績穩(wěn)定在140左右和穩(wěn)定在145+的同學，雖然只有不到十分的差距，但是知識的儲備量至少相差了好幾本書。

當我念高中的時候也會經(jīng)常有同學來問我，為什么大家做完都來不及，而你卻總是能考滿分。

于我而言，我覺得我每次成績都考很好，主要是做到了下面幾點：

1

計算功底，要扎實

正所謂“一力降十會”，在絕對的計算能力面前，所有的運算技巧、解題技巧都相形見絀。尤其是高考中的解析幾何大題，基本沒有任何思考量，純粹地考察學生的計算能力。

而在21世紀，計算數(shù)學甚至成為了數(shù)學系的四大主要分支之一。

計算是數(shù)學中最根基的部分，只有計算能力強大，才能為你節(jié)約大量考試時間。

目前應該除了上海高考外都禁止用計算器，而且即使上海考試有計算器的加持，強大的心算能力也是非常必要的。甚至你需要熟練使用小學時候?qū)W習的記憶20以內(nèi)數(shù)的平方、2的10次以內(nèi)的冪、3或者5的4次以內(nèi)的冪、頭同尾合十心算技巧等等。

如何算得又快又對，雖然是小學時候就學的東西，但是終身受用。

高中數(shù)學解析幾何題：需要較強的計算能力

關于計算能力的重要性，這和賊叉老師的思路是一樣的。如何提高娃的計算能力，之前咱們還和賊叉老師做過一期專訪：

2

不用太早，需要提前預習

我并沒有提前太早學習新課，但是至少每個學期發(fā)新書后，我會抽一些晚自習的時間，把整個學期的數(shù)學書看一遍（其實所有學科的教科書我都這樣干）。全部看完并且理解以后，老師講課的時候再聽一遍，就相當于學習了兩遍。

人們總說學霸不聽課不做作業(yè)的，其實我想說不是。

我雖然不太聽課，但作業(yè)還是要做的：因為看過一遍教科書，自己對著輔導練習冊做做題就會了。

因為知識都掌握了，所以數(shù)學課對于我而言就是自修課。數(shù)學老師也跟班上同學說，要是跟我一樣次次考滿分，也可以不聽課。

不過，上課的這個時間我并沒有閑著，我會選擇做一些競賽題。當然也不是完全不聽課，稍微聽一些，覺得有趣的，會自己做一些探究課題。

人教版2019年高中數(shù)學必修教材目錄

3

不偷懶，題要多練

總有同學說，題型太多變了，每次學習了這個，他又換個題目考。

我只能說，做的題目還是太少了。

高考不是競賽，如果你刷的題足夠多，你就能幾乎做過所有高頻的考點。

我高一就開始刷高考卷，刷到高考還在刷。高一的時候高考卷自測根本不及格，很多題都看不懂。但那又怎么樣呢，做著做著就會了。到了高三正常考試的時候，基本就是手到擒來，而且很自信，做下去就對。

也就是說，不要在考試的時候去思考新的解法，思考方法的時間應該花在課后，而不是在考場上。

真正的高分考生，基本就是看到一道題，就知道他在考察你什么知識點，也知道該用什么方法做。嘗試一下，基本路就走通了，如果還走不通，再換個方法試試。

2018年高考全國卷1數(shù)學試題

4

不局限于教材，廣泛地學習課外知識

在這里，我想拿大家都能懂的雞兔同籠問題舉例子。

這是在我國國內(nèi)非常著名的小學生奧賽題，基本所有受過奧賽培訓的小學生都能熟練解出雞兔同籠問題。

但是他們用的方法，以及他們老師教學的方法，一般是這樣的：

假如所有動物都是雞，那么少了幾只腳，每把一只雞換成一只兔，多兩只腳，因此就能算出有多少只兔子，剩下的就全是雞。

而對于初中生來說，雞兔同籠問題是一個二元一次方程組問題，通過消元法可以快速計算雞兔數(shù)目。

雞兔同籠題目

我想舉這個例子來說明，對于數(shù)學題來說，解法并不一定是唯一的，甚至有些解法對于題目而言是“降維打擊”的、是“秒殺”的。

看到一個要求計算線段比例的向量題目，中規(guī)中矩的方法要求建立基底一步步計算，甚至標準答案也會這么求解。

但是如果你能熟練使用梅捏勞斯定理、塞瓦定理、斯特瓦爾特定理等這些競賽書上有，教科書上根本沒有的定理，你就會發(fā)現(xiàn)有時候一個填空題只需要十秒鐘就能做完，甚至還不到十秒。

在我自己考試時，我總是發(fā)現(xiàn)在選擇填空上我就能比身邊的同學快上二十分鐘。

我同桌以前和我說，最緊張的一次考試是有一份四頁的考試卷，他還在第一頁做選擇，我已經(jīng)翻面做第三頁大題了。

相信很多同學學習過“解三角形”這一節(jié)課。我們知道了在三角形中有正弦定理和余弦定理。但是課外的習題還有“非直角三角形△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”這樣的結(jié)論，也幫我快速解決過無數(shù)解三角形大題。

除此以外，我發(fā)現(xiàn)很多同學最希望聽老師說的一句話就是“這個不考”，就把某個知識點一劃，便再也不看。

據(jù)我所知，在三角函數(shù)這一章節(jié)，很多省份不考積化和差、和差化積這兩組共八個公式，還有萬能公式、半角公式也并不在考綱里。

積化和差公式

但這些名詞，即使不在考綱里，也很可能會出現(xiàn)在課堂上老師的口中：“我們講一個從教材中刪掉的重要知識點……”

但是對于我來說，在我的中學階段，出于求知，我會把這些“額外”知識點自己單獨推導至少一遍，而實踐也證明了：若是真的考試用不上，任課老師為什么還要分出寶貴的課堂時間來講這些東西？

而到了博士階段，也有不少中學生向我請教問題，出于對知識的敬畏，以及對那些先驅(qū)者的尊重，我也會嚴格要求那些學生們記住那些“不考，沒用”的知識點。

書上出現(xiàn)的著名定理，我還要求他們必須熟知是哪個國家的哪個數(shù)學家提出的。因為有一句格外打動我的話是這么說的：“你在課本上隨手劃下的一行公式，很可能就是某個人一生的全部工作。”

5

做題習慣要好

我在這里提到的做題習慣，主要指的是以下三個部分。

第一個，指的是計算的時候心態(tài)好，耐心。

每一步計算時心態(tài)都很平靜，不浮躁。

寫下每一個數(shù)字的時候都會順手檢查一遍有沒有算錯或者抄錯。這一點在面對計算量巨大的題，尤其是坐標系下的立體幾何題、解析幾何題以及導數(shù)大題時尤為重要。

不知道看到這里的小伙伴們有沒有做大題時候算錯了重算導致時間來不及的情況呢，我想應該是有的吧。

第二個指的是草稿工整。

我的草稿是非常工整的。拍幾張我最近計算時候書寫的草稿

在多年前我的草稿就是如此，不會東一塊西一塊。

這在考場上是十分有用的，基本上一眼就能看出來在哪一步算錯了。如果沒有帶其他顏色的筆，我也會用黑筆把計算的關鍵步驟圈出來。

這個習慣為我做題節(jié)省了非常多的時間，尤其是檢查的時候。

第三個指的是卷面工整整潔。

相信大家從我貼的草稿也可以想象到我考試卷面的工整整潔程度。如果說有個參照的話，我會提一下前幾年很火的錢學森考試卷的例子

這是錢老的卷面，事實上在每次考試中我的卷面也是如此：合理的空間配置、工整的筆跡、以及著重標記關鍵步驟和答案等。

作為一個批改過高考卷的人，我可以很負責任地告訴大家這就是改卷老師想看到的卷面。

你可以想象一下，如果你是閱卷老師，看到這樣的卷面，心里會想什么。至少我會想，這樣的學生就是滿分的料子。幫他檢查一下答案對不對，若是全對，我連過程都不想看了，直接給他滿分。

作者最近給學生整理的中考解析

而在黑板上書寫板書的時候，我也會盡量寫得工整清晰。

以前給人講課時的板書，狗追兔子的追線問題

如果是教科書上沒有的，我自己的備課稿件，我也會工整書寫，并復印給學生使用。

備課講義手稿2

一般來說，雖然高考數(shù)學，每個大題都有多種方法的多種給分方案，并且老師改卷只看給分關鍵步驟，答到點子上了，給多少分，沒達到，就不給。

但是盡管有如此的步驟分評判方法，但是并不是卷面不影響成績。對于閱卷老師而言，數(shù)學大題還是有輕微幾分的自主裁量權的。這個主要體現(xiàn)在學生總是能夠?qū)懗鲆恍┠＠鈨煽傻脑?，“說他對也有道理，說他不對也說得過去”這樣的步驟，對應到某些學生“掌握了知識點，但沒完全掌握”的狀態(tài)。

相信無數(shù)的老師強調(diào)過：卷面是隱形的加分點。

這句話不是空穴來風。當老師的這點都懂，這時候卷面的價值就來了。

閱卷有一個不成文的規(guī)定，如果你的答案半對不對，與其在那里糾結(jié)半天你寫得到底算不算對，要不要給你分，基本上就是看卷面，寫得工整判你對，寫得亂七八糟直接判錯。

也許我和你寫的內(nèi)容都是一模一樣的，但我就是因為卷面問題比你高兩分，你覺得氣不氣。

在學校里，你可能還會因為自己“寫的是3但長得像5被老師判錯扣分”這件事耿耿于懷，找任課老師理論，但如果是中高考呢？

而在目前的閱卷制度下，你的一份卷子，會被按題目拆分，會被十幾個人批閱——卷面的影響，會被放大至少十倍。

說句不好聽的話，如果你每道大題都寫得模糊不清亂七八糟一片，每道大題偷偷扣你一兩分卷面分，加起來十分就沒了。更可怕的是，這還只是一門科目。

把字寫工整，是對別人的尊重，也是對自己負責。這不是要求把字體書寫得多么美觀，多么藝術，只是要求你寫的字能被人輕易認出來。

6

不要在一道題上死磕

我并不是希望各位安排好多少時間做選擇題，多少時間做填空，多少時間做大題，多少時間檢查。這些都是會因為試卷難度有出入的。

我要強調(diào)的一點是，不要在一道題上死磕。

哪怕是我這樣次次考滿分的人，我也會選擇合理放棄一些題目，去先把分值更高的所有題目的分拿到手，再用剩下的時間回去死磕。

有些題，想不到就是想不到，分值又低，合理取舍是很重要的。

之前陶平生出高考卷，最后一題全省無人做對。如果我參加了那場考試，我一定會在最后二十分鐘的時候放棄這道題，用二十分鐘時間把前面所有題目檢查一遍。

陶平生教授出的2008年江西高考數(shù)學大題

7

一定要留下時間檢查

前面說到，合理取舍。但是對于我而言，每次考試時間還是比較寬裕的，兩個小時的數(shù)學考試，我一般能夠剩下30多分鐘來檢查。

如果是比較難的卷子，我也能至少留下十五分鐘去檢查。

主要原因是，在第一遍做的時候，有非常多的題目我總能挑選出我覺得最快速的解題方法去求解。而對于填空和選擇題，有時候不需要太嚴謹?shù)臄?shù)學證明，有時候數(shù)學直觀好，直接猜出圖形的特殊位置、方程的特殊解、達到最值時候的取等條件等等，那就直接寫上答案就行，回頭做完卷子，還有時間再回來補充證明。

其次是，檢查的時候根據(jù)剩余時間的多少，來確定檢查方案。

如果時間格外充裕，我檢查一道題的方法是選擇換一種新的方法重做這道題。

這樣做有一個好處，就是如果你用兩種差別較大的方法在同一道題解出同樣答案，那么可以直接斷定你這道題就是做對了。因為兩種不同方法解出相同答案的概率是極低的。

但是這樣的策略必須有一個前提條件：你得想得到兩種解法（又或者說有的題目其實就只有一種解法）。

如果檢查的時間不夠充?；蛘哒f確實想不到新的解法，我會選擇順著一開始的解題步驟，一步一步重新算一遍。

注意是重新寫一遍而不是看著草稿看一遍?；旧夏憧匆槐槭强床惶鲥e誤的，也就是所謂的“檢查不出來”。而如果你真的老老實實再去打一遍草稿，你就會很明顯知道哪一步算錯了。

我一般會預留20多分鐘去檢查，但是如果真的卷子特別難，時間沒那么充裕，那我也會做好不整體檢查的準備，但是相應地，我會告訴自己，之后每算一步都要很仔細。

8

適當?shù)摹巴稒C取巧”

曾經(jīng)有同學問過我一道選擇題，類似是f(x)≤a恒成立，求a的取值范圍。

給了四個選項，分別是a>1，a≥1，a

我告訴他說，這道題直接求解f(x)的最大值其實很難，但是如果我們觀察到“如果對于某個a能滿足這個不等式，那么比它大的所有a都應該被包括進去”那么很顯然，直接選擇a≥1這個選項，因為如果它不對，其他選項就更不可能對。

這對于數(shù)學直覺好的同學來說是基本操作，但是這樣的題目會讓非常多“做題死板”的同學坑進去大量時間。

當然，對于高考而言幾乎不可能出現(xiàn)這么顯然的選項，但是在平時大大小小的模擬測驗中，難免會出現(xiàn)這樣選項質(zhì)量不高的題，又或者就是為了鍛煉學生“投機取巧”的能力而故意設置成這樣的選項。

因此，就考試而言，掌握適當?shù)膽嚱忸}技巧，也應該是學生們在學習過程中應該留意的一點。

9

不要懶惰

我從本科一年級開始就開始做中學生家教，同時在校內(nèi)也積極參加學工部的勤工儉學項目，為學校內(nèi)其他院系數(shù)學功底薄弱的同學提供數(shù)學補習。

在我接觸過大量的學生以后，我愈發(fā)覺得，孔子的“有教無類”是有道理的。當然在此基礎上還有“師傅領進門，修行在個人”。

總有學生或是家長抱怨說，孩子智商不行，腦子不夠靈光，學不了理科。

于是我做過這樣一個實驗：我把數(shù)學書上重要的公式全部整理出來，其實每一章節(jié)也沒幾個公式，半頁紙就能寫下。

我對學生說：“下次來上課，我會把這張紙上的知識點做成填空題，你完全不需要動腦子，你把它一模一樣地、原封不動地默寫下來。”學生覺得這任務很簡單。

但是一周以后，默寫效果總是非常差。

我再讓他們回去記憶默寫，依然非常差。

過了幾周，我連這幾個公式出現(xiàn)在教科書第幾頁第幾行都記住了，學生還是默寫不出來。

只有我說“若是默寫不出來，那就不許下課，不許吃飯，直到默寫出來為止?！钡臅r候，即使是叫嚷著“完全不會”的學生，也能把所有知識點都默寫出來了。

這也就說明了，沒有笨學生，只有懶學生。

高中數(shù)學三角函數(shù)的部分公式

為什么總有人說題海戰(zhàn)術有用？我覺得題海戰(zhàn)術起碼保證了一件事：反復鞏固知識點。

上課的時候看一遍公式，當場記住了，第二天就忘。而課后習題，每做一道題，就寫一遍公式，連著做十題二十題，就相當于寫十遍二十遍公式，真的會有人笨到簡簡單單一行公式，寫上一百遍還記不住嗎？

有一句大家耳熟能詳?shù)脑姡骸凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行。”光是上課聽老師講解，看著書死記硬背的學習效果是很差的，不如自己推導一遍公式，做上幾道典型例題。

在我給學生上課的過程中，我會經(jīng)常詢問學生，你們聽懂了嗎？得到的回答幾乎都是：“聽懂了?！倍绻易寣W生站起來回答問題，又或者僅僅是把我剛才說過的話原封不動復述一遍，他們就又會蹦出倆字“不會”。

只有在我嚴格要求他們把板書抄下來作為筆記并當著我的面推導一遍，他們恍然大悟，說上一句：“哦！原來是這樣?。　蔽也拍芟嘈潘麄兊拇_是掌握了。

老師上課講過的內(nèi)容，下課以后完全不復習，每天根本沒花多少時間學習。平時周一到周五五天光顧著玩，就靠著周末的補習吊著一口氣，兩天打魚五天曬網(wǎng)，每個周末補習的時候搞懂了知識點，到學校里去又只光顧著玩。到頭來還要埋怨補習沒效果、老師教學水平低、題目太難、自己太笨……找盡理由，就是不愿意承認自身的懶惰。這難道不是多數(shù)學生的真實寫照嗎？

只不過，我也認為不能把問題的根源簡單歸結(jié)為懶惰，它的背后還有更深層的原因。學生們年紀輕，并沒有太多的閱歷。我相信無數(shù)的同學，根本還沒有搞懂“為什么要學習”這一問題。中學生也好，大學生也是如此。多數(shù)時候，限制一個人的并不是能力，而是態(tài)度。

最后

回答大家關心的幾個問題 ...

發(fā)布這個回答后，收到了大家很多的看法，因此我再來補充一些。

Q1：中高考、自主招生這類考試，能用超綱的方法解題嗎？

能。就一點：做出來比不會做強。

我甚至巴不得學生發(fā)明一種我看不懂的方法來解題。

只要你熟練掌握了正確的知識，那就大膽地去使用。

但前提是你要做到：

使用了正確的方法

解出了正確的答案

規(guī)范地書寫解答

老有學生說：我用了某某方法某某定理，結(jié)果沒有步驟分了。我把卷子拿來一看，分明就是定理都背錯了。

很多老師不建議學生使用超綱方法答題的根本原因就是，學生們對這些知識沒有經(jīng)過系統(tǒng)的訓練，基本都是稀里糊涂亂用的。多數(shù)情況并不是“使用了超綱知識被扣分了”，反而是“你以為你用了正確的方法，實際上用錯了”

看到數(shù)列就求極限的，極限的存在性證了嗎？沒證的，扣分。

上來就給未知函數(shù)求導要么積分的，可微性證了嗎，可積性證了嗎？沒寫的，扣分。

就閱卷而言，即使你在卷子上把哥德巴赫猜想證出來了，題沒做對，沒分。

這里我講一個令我印象深刻的故事。

有一年我參加大學的自主招生閱卷工作，考生多為高中學生，壓軸大題是證明一個方程無解。

試評完發(fā)現(xiàn)考生們主要使用兩種方法：

多數(shù)學生使用的第一種方法中規(guī)中矩，構(gòu)造函數(shù)求 n?次導數(shù)，分奇偶討論單調(diào)性，步驟繁瑣，需要書寫整整一頁。

少部分學生使用的第二種方法是使用泰勒公式，將題目給的函數(shù)展開至 n?階。

泰勒公式是超綱的公式，因此我們在試評的時候發(fā)現(xiàn)卷子上凡是使用泰勒公式的同學都是一知半解的，所有使用泰勒公式的同學，都在展開完以后使用了佩亞諾型余項，但是佩亞諾型余項無法證明方程無解。

因此閱卷組長通知，凡是使用泰勒公式解題的同學，一律判為0分。

我改著卷子的時候，突然一份答案呈現(xiàn)在我的眼前，字跡清秀但卻只有寥寥兩行。

我的第一印象就是答卷沒寫得密密麻麻的，基本就是不會的，何況又是這種只寫了兩行的答案呢。想著等會兒給他0分，但還是仔細查看了他寫的這兩行過程。

第一行：“使用帶拉格朗日型余項的泰勒公式在 x=0?處展開至 n?階，其中 ξ?介于?0?和 x?之間，故由余項非零知方程無解，得證?！?/p>

第二行則是余項的公式。

我當場舉手示意：“組長，這里有個用泰勒的，可他是對的！”

教授過來看了一眼說了兩句話，第一句是“給他滿分”，第二句是“這樣的同學就是我們想要的?！?/p>

我這里給大家解釋一下：寥寥兩行文字，但全是精煉的術語，沒有半點廢話。而能夠精確地使用帶拉格朗日型余項的泰勒公式，則說明他至少精讀過高等數(shù)學的教材，而不是囫圇吞棗地翻看過。

戲劇般的劇情，兩行證明，滿分到手。

結(jié)合以上，我的建議就是，我不排斥學生使用超綱方法解題，但學生很可能因為掌握得不夠徹底、不夠?qū)I(yè)、甚至因為使用錯誤而有扣分風險。所以我也總是對學生們說，除非你真的想不出課內(nèi)的方法，那么就用超綱的方法先把答案做出來。

超綱方法做對了，好歹是能拿到分的。不超綱方法死活想不到，做不出來可是一分都沒有的。

我在高中階段考過無數(shù)次的多校聯(lián)考數(shù)學單科第一名，有些大題，尤其壓軸題的數(shù)列或者導數(shù)不等式就是靠微積分解出來的。題目本身就難，得分率低老師改卷就仁慈，哪里還會摳那么多的細節(jié)，把答案做對就直接給你滿分了，而這種時候我的競爭對手都沒做出壓軸題。

有同學表示自己平時使用非主流方法總被老師判錯，對此我的評價則是：水平越低的老師，思想就越是僵化。數(shù)學這門學科，只有好的方法、差的方法，沒有一定要使用的標準方法。

考試越是大型，就越應該大膽地去使用——放心，閱卷老師的水平高得很，只要你的辦法是對的，你一定能拿到該拿的分數(shù)。

閱卷老師心里清楚，沒有任何理由淘汰一個優(yōu)秀的同學。

Q2：評論區(qū)不少人說，學習還是得看天賦，說說我的看法。

你們知道在頂級學府里面最讓人絕望的一點是什么嗎，那就是比你聰明的人卻比你更努力。

而現(xiàn)實生活中從小學到大學這樣的例子比比皆是，只是很多人步入社會以后才意識到這一點。

說個老梗吧，科比被問到“你為什么如此成功”時說：“你們見過凌晨四點的洛杉磯嗎?！?/p>

天賦因人而異，努力總不是因人而異的吧。在一些高中，你甚至能在正月初二就看見里面坐著零星的自愿來學習的同學。如果你問我為什么知道，我會告訴你因為我當年就是其中之一。

誠然，即使不說天賦，不同地方也有著巨大的教育資源差異。就初中教師而言，有的是專業(yè)的教育博士，有的卻自己都沒搞懂教材便給學生講課?！扒Ю锺R常有，而伯樂不常有?！庇泻锰熨x還不夠，還得有好老師。這些客觀差距就是無法彌補的。

但若是有人大放厥詞，喊勤奮無用——騙別人可以，別騙自己了吧。

Q3：我看評論區(qū)有人說，有天賦的人看東西一看就懂，沒天賦的人看一百遍也看不懂。

這一點其實我也想講一個故事。

我初中的時候很喜歡玩計算器，就看到計算器上有很多亂七八糟的功能，不少我能看懂，但也有一些我看不懂的，尤其是卡西歐計算器右上角的 ∫記號。

我就和周圍同學開始研究啊，這東西到底是什么意思。結(jié)果有次下課一個同學很興奮跑來找我說，我明白了， ∫ba?kdx?的意思就是“上面的減去下面的再乘以中間的”。

因輸入法問題，完整數(shù)學符號見圖片

我按了幾次發(fā)現(xiàn)是對的，但疑問也隨之而來：這么簡單的計算，難道還值得人們發(fā)明一個專門的記號來表示嗎？

公式結(jié)果=上面減下面再乘中間的

實在想不明白，還是決定去問老師了，老師看了一眼說：“這個是微積分啊，大學里面學的。”

但我沒有就此打住，而是追問老師：“老師，我能學嗎？”

老師撂下一句“你現(xiàn)在還學不懂吧”就離開了。

我回家以后不是很服氣，上網(wǎng)查了一通，沒看懂。

碰巧我媽當時覺得我英語不好，在家邊上給我找了個大學生家教補習英語，我記得是個二本院校的文科女大學生。當時她應該是快期末考試了，給我補習的空檔還拿著一本微積分的書復習。我偷瞄了一眼，這書里全是 ∫?記號！

我當時就來勁了，我跟她說，你的這本書可以借我看看么？

她說可以啊，便把書遞給我。書名我忘了，大抵是所謂《微積分教程（文科專業(yè)用）》之類的。我翻了翻，便不太情愿地還給她了。

她見我如此有興趣，便隨口說道：“你要是想看，這本可以送你，我回去再買一本就是了，學校舊書攤里這些書多得是?！?/p>

因此我便得到了我視若珍寶的人生中的第一本微積分的教材，雖然它到我手里的時候已經(jīng)很舊了。

我特別愛那本書，可是我根本看不懂。

但這本書是我的，一遍看不懂我可以看兩遍，兩遍看不懂我可以看三遍。

老師同學那時都對著我笑，說我要走火入魔了。

我也忘了我到底翻過幾遍那本書，但是我去哪里都要帶著它，即使看不懂也對著它發(fā)呆。若是真的大致說個數(shù)的話，至少得有個幾百遍。本來書就有點破舊，后來書的封皮都被我翻得整個掉下來了。

我只記得在某個晚自習我突然好像如醍醐灌頂，猛地一下頓悟——突然就看懂了。

那一刻我欣喜若狂，趕緊翻回第一頁重新往后看，果然每一頁都能看懂了。

古人有云：書讀百遍，其義自見。

至此，我有關 ∫ 的疑問全部消除。

微積分基本定理——人類歷史上最偉大的公式之一。

幾天后初中課堂的數(shù)學課，恰好在講動點求面積最大值的中考壓軸專題。別的同學在那悶頭苦算，而我看了一眼就覺得直線和拋物線相切的時候面積最大……等等，相切……

前不久剛看懂的微積分書里不就教了怎么算切線嗎？！

把微積分應用到初中題目一做，完全就是秒殺，連我自己都驚呆了，居然題目還可以這么做。用現(xiàn)在的話來說，這叫“降維打擊”。

再后來我就發(fā)現(xiàn)，原來這本書講得這么簡單。（畢竟是文科專業(yè)用書）

后來上了高中，則是理工科用的微積分教材，甚至數(shù)學專業(yè)用的數(shù)學分析了，而看后面這些書帶給我的震撼，遠沒有那本破書來得巨大。

我想這就是哲學里面所謂的量變引起質(zhì)變吧。

我不覺得一本高中的教科書真的有人“看一百遍也看不懂”，我覺得看不到一百遍，甚至看不到十遍的可能性更大一些。

行百里者半九十，若是真能做到下定決定看上一百遍，我想大抵還是能看懂的吧。

要是還不行，那就看一百零一遍試試？

萬一真看懂了呢。

書中自有黃金屋，書中自有顏如玉。

讀書人的快樂，也便在這兩句詩之中了。

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